纸上谈兵: 数学归纳法, 递归, 栈

  • 时间:
  • 浏览:0
  • 来源:大发快三_快三走势_大发快三走势

作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明。谢谢! 

数学归纳法

数学归纳法(mathematical induction)是并全部都是数学证明办法,常用于证明命题(命题是对某个大问题的描述)在自然数范围内成立。随着现代数学的发展,自然数范围内的证明实际上构成了一些一些领域(比如数学分析)的基础,就说数学归纳法对于整个数学体系至关重要。

数学归纳法并全部都是非常简单。过后你们 愿意证明某个命题对于自然数n都成立,如此:

第一步 证明命题对于n = 1成立。

第二步 假设命题对于n成立,n为任意自然数,证明在此假设下,命题对于n+1成立。

命题得证

想一下上边的1个步骤。它们实际上因为,命题对于n = 1成立 -> 命题对于n = 2成立 -> 命题对于n = 3成立……直到无穷。因此我,命题对于任意自然数都成立。这就好像多米诺骨牌,你们 选则n的倒下会因为n + 1的倒下,因此我推倒第一块骨牌,就能保证任意骨牌的倒下。

你们 来看一下使用数学归纳法来证明高斯求和公式:

n为任意自然数。

(你是什么 公式据说是高斯小学时想出来的。老师惩罚全班同学,需要算出1到60 的累加,并能回家。于是高斯想出了上边的办法。天才全部都是 被逼出来的么?)

你们 的命题是: 高斯求和公式对于任意自然数n都成立。

下面为数学归纳法的证明步骤:

第一步 n = 1,等式左边(1的累加)为1,右边(右边公式代入n=1)也为1,等式两边相等,等式成立,因此我命题对于 n = 1 成立。

第二步 假设上述公式对于任意n成立, 即1到n的累加为n*(n+1)/2

    如此,对于n+1,等式的左边(从1到n+1的累加)等于n*(n+1)/2 + (n+1),即(n+1)*(n+2)/2

                  等式的右边的n用n+1代替,成为(n+1)*(n+2)/2

    等式两边相等,等式成立。因此我,当假设命题对于n成立时,命题对于n+1成立。

因此我,命题得证。

递归

递归(recursion)是计算机中的重要概念,它是指1个计算机多多多线程 调用其自身。为了保证计算机不陷入死循环,递归要求多多多线程 1个并能达到的终止条件(base case)。比如下面的多多多线程 ,是用于计算高斯求和公式:

/*
 * Gauss summation
 */

int f(n)
{
    if (n == 1) { 
        return 1;  // base case
    }
    else {
        return f(n-1) + n;  // induction
    }
}

在多多多线程 中规定了f(1)的值,以及f(n)和f(n-1)的关系。这正是数学归纳法思想的体现。愿意得到f(n),需要计算f(n-1);愿意f(n-1),需要计算f(n-2)……直到f(1)。过后你们 过后知道了f(1)的值,你们 就能并能 填补前面所有的空缺,最终返回f(n)的值。

递归是数学归纳法在计算机中的多多多线程 实现。使用递归设计多多多线程 的过后,你们 设置base case,并假设你们 会获得n-1的结果,并实现n的结果。这就好像数学归纳法,你们 只关注初始和衔接,而需要关注具体的每一步。

递归是用栈(stack)数据社会形态实现的。正如你们 上边所说的,计算f(n),需要f(n-1);计算f(n-1),需要f(n-2)……。你们 在寻找到f(1)过后,会有一些空缺: f(n-1)的值哪几种? f(n-2)的值是哪几种? …… f(2)的值是哪几种?f(1)的值是哪几种? 你们 的第1个大问题是f(n)是哪几种,结果,你是什么 大问题引出下1个大问题,再下1个大问题…… 每个大问题的解答都依赖于下1个大问题,直到你们 找到第1个能并能 回答的大问题: f(1)的值是哪几种?

你们 用栈来保存你们 在探索过程中的大问题。C语言中,函数的调用过后是用栈记录离场情境和返回地址。递归是函数对自身的调用,就说很自然的,递归用栈来保存你们 的“大问题” 。

你们 假设栈向下增长。首先,你们 调用f(60 ),如此当执行到

return f(n-1) + n; 

f(60 )暂停执行,并记录当前的情况汇报,比如n的值,当前执行到的位置。已经 调用f(99),栈增加1个frame,直到调用f(98) ... 栈不断增长,直到f(1)。f(1)得到结果1,并返回给f(2)。f(1)栈frame删除,转移到f(2)frame情境中继续执行

return f(n-1) + n; 

因此我返回给f(3) ... 直到f(99)返回给f(60 ),并执行

return f(n-1) + n; 

返回f(60 )的值,得到结果。

上述过程是C编译器自动完成的。在实现递归算法时,并能并能 自行手动实现栈。1个能并能 得到更好的运行速率 。

总结

数学归纳法

递归

欢迎继续阅读“纸上谈兵: 算法与数据社会形态”系列。